题解

圆上有$n$个关键点，最小化他们到同一点的距离和。

考虑在圆上顺时针移动所求点，在移动的过程中一些关键点到该点距离增加，一些关键点到该点距离减少，一些关键点距离先增加再减少或是先减少再增加。考虑以在移动过程中每个关键点 增加/减少 的分界处(显然这些分界处即为每个关键点在圆上相对的点和自己本身)为单位枚举移动所求点，那么在移动过程中关键点到该点的距离要么增加，要么减少，只需要维护这两种情况分别有多少个点即可。(显然所求点一定在分界处上,因为在分界处之间的距离和变化单调，即分界处之间的距离和一定小于两边某一个分界处的距离和)

把$n$个关键点移动到圆上$n$等分位置也可以用相同的方法，先将点按极角排序，默认第$i$个点移动到第$i$个$n$等分位置即可(即$a_i-=360i/n$,在此次操作后第$i$个等分位置移动到了第$0$个等分位置，$a_i$移动到了$a_i-360i/n$)

正确的做法是将第$i$个关键点跟第$i$个等分点绑定，然后考虑移动一起所有等分点的过程。

以下是把$n$个关键点移动到圆上$n$等分位置,最小化距离和的算法。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5+5;

int n;
ll a[N],b[N],q[N*2];
multiset<pair<ll,int>> s;

int main(){
	cin>>n;
	ll r=36000000ll*n;
	ll dec=100000ll*n;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		double b;
		cin>>b;
		a[i]=b*dec+0.6;
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	ll tot=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		ll s=(a[i]-36000000ll*(i-1)+r)%r;
		b[i]=s;
	}
	sort(b+1,b+n+1);
	for(int i=n;i>=1;--i)b[i]=b[i]-b[1];
	for(int i=1;i<=n;++i)tot+=min(b[i],r-b[i]);
	ll cnt1=0,cnt2=0;
	ll ans=tot;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		ll x1=b[i];
		ll x2=(x1+r/2)%r;
		if(x1<r/2){
			cnt1++;
			s.insert({x1,1});
			s.insert({x2,-1});
		}
		else{
			cnt2++;
			s.insert({x1,1});
			s.insert({x2,-1});
		}
		q[++q[0]]=x1;
		q[++q[0]]=x2;
	}
	sort(q+1,q+q[0]+1);
	q[++q[0]]=r;
	ll last=0;
	for(auto p:s){
		tot-=cnt1*(p.first-last);
		tot+=cnt2*(p.first-last);
		last=p.first;
		ans=min(ans,tot);
		if(p.second==1)cnt1--,cnt2++;
		else cnt1++,cnt2--;
	}
	double res=1.*ans/dec;
	res=res/180*acos(-1);
	printf("%.10lf\n",res);
}